题目

抛物线y²=2px（p＞0）与直线y=x+1相切，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是抛物线上两个动点，F为抛物线的焦点，AB的垂直平分线l与x轴交于点C，且|AF|+|BF|=8．
（1）求P的值；
（2）求点C的坐标；
（3）求直线l的斜率k的取值范围．

提问时间：2021-03-26

答案

（1）由

y2＝2px(p＞0) y＝x+1

 得：y²-2py+2p=0（p＞0）有两个相等实根  
即△=4p²-8p=4p（p-2）=0，得：p=2为所求；                   
（2）抛物线y²=4x的准线x=-1．
且|AF|+|BF|=8，由定义得x₁+x₂+2=8，则x₁+x₂=6          
设C（m，0），由C在AB的垂直平分线上，从而|AC|=|BC|
则(x1−m)2+y12＝(x2−m)2+y22
(x1−m)2−(x2−m)2＝−y12+y22
（x₁+x₂-2m）（x₁-x₂）=-4（x₁-x₂）                              
因为x₁≠x₂，所以x₁+x₂-2m=-4
又因为x₁+x₂=6，所以m=5，则点C的坐标为（5，0）；
（3）设AB的中点M（x₀，y₀），有x0＝

x1+x2

2

＝3                  
设直线l方程y=k（x-5）过点M（3，y₀），得y₀=-2k                
又因为点M（3，y₀）在抛物线y²=4x的内部，则y02＜12              
得：4k²＜12，则k²＜3
又因为x₁≠x₂，则k≠0
故k的取值范围为(−

3，

0)∪(0，

3

)．

（1）联立切线和抛物线方程，由判别式等于0求解p的值；
（2）由|AF|+|BF|=8，利用抛物线的定义转化为x₁+x₂+2=8，从而求出A，B两点横坐标的和，设出C的坐标，利用C在AB的垂直平分线上得|AC|=|BC|，代入两点间的距离公式后移向整理，代入两横坐标的和后可求m的值；
（3）设出AB中点的坐标，写出直线l的方程，把AB中点坐标代入l的方程后得到AB中点坐标与直线l的斜率k的关系，由AB中点在抛物线内部列式求得k的取值范围．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点，属难题．