题目

a,b,c,d皆为整数,证明：（a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)能被12整除

提问时间：2021-03-26

答案

首先,一个数被3除的余数有三个,根据抽屉原理,a,b,c,d里肯定有两个数对3的余数相同,也就是它们的差能被3整除,所以原式能被3整除
其次,若a,b,c,d被4除的余数不同,不妨设a=4k+1,b=4k+2,c=4k+3,d=4k,那么a-c被4除余2,b-d被4除余2,(a-c)(b-d)能被4整除
若a,b,c,d中有两数被4除余数相同,那么它们的差能被4整除,所以无论如何原式都能被4整除
所以原式能同时被3和4整除,也就是能被[3,4]=12整除,这么说你明白了吗?