题目

a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证:以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.
能不能简短一点的,太长的话抄起来太慢了.但是也要讲清楚.

提问时间：2021-03-26

答案

证明：
1）若a,b,c,d全是偶数,那么b-a,c-b都还是偶数,乘积必然能被4整除
2）若a,b,c,d有三个是偶数,不妨设是前三个,那么b-a,c-b都还是偶数,乘积必然能被4整除
3）若a,b,c,d有两个是偶数,不妨设是前两个,那么b-a,d-c都还是偶数,乘积必然能被4整除
4）若a,b,c,d有一个是偶数,不妨设是第一个,那么c-b,d-c都还是偶数,乘积必然能被4整除
5）若a,b,c,d全是奇数,那么b-a,c-b都还是偶数,乘积必然能被4整除
下面来讨论,b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c这六个的乘积必然能被3整除
任何数整除3,之后余数无非就是0,1,2
因为a,b,c,d有四个数,那么必然有两个数除以3的余数是一样的,假设是a,b,
那么b-a就一定能整除3(因为a|3,b|3,那么b-a|3)
综上,由于3和4是互素的,所以b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除