题目

解释一道三角函数举例应用的问题的答案
某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东北方OB,现要修建一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,现要求市中心O与AB的距离为10公里,问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使｜AB｜最短,并求其最短距离.
详细解释一下为什麽会有10[(tana-1)+2/(tana-1)+2]≥10(2√2+2)
移项之后应该是A^2+B^2≥-2AB吧,怎麼还会是2AB呢?

提问时间：2021-03-25

答案

先来说完全平方公式：(A+B)^2>=0
展开后A^2+B^2+2AB>=0
移项得A^2+B^2>=2AB
即对于任何两实数的平方和,总大于等于这两数积的二倍,等号仅当A=B时成立.
对于任何一个正数,可看成它的算术平方根的平方,由此,当两数A、B是正数时,
A+B=(√A^2)+(√B)^2>=2√A√B=2√(AB)
特殊的,当B=1/A时,A+1/A>=2
因此,
(tana-1)+2/(tana-1) 两数都是正数,当二者相等时,有最小值2√[(tana-1)*2/(tana-1)]=2√2
当然,本题的角要能满足tana-1=2/(tana-1),并且都大于0,否则不能取等号.
到高二不等式中会详细学.
完全平方公式有两个,(A-B)^2>=0 A^2+B^2>=2AB