题目

猜想n个4p+1的质数的积能写成a^2+b^2 npab是正整数
0 - 提问时间2010-3-21 14:34 问题为何被关闭
猜想n个4p+1的质数的积能写成a^2+b^2 npabm是正整数 如积有m个因子则ab的解有m个 如 5*13=65=8^2+1^2=7^24^2 5*5*5=125=121+4=100+25有5和25两个因子

提问时间：2021-03-25

答案

把数分解成平方数（包括0^2=0）的和的问题是在十八十九世纪由欧拉,拉格朗日,高斯等人解决的,结论是：
1.一个自然数可以表示成两个平方数的和当且仅当它做素数分解后所有形如(4k+3)的素数出现次数为偶数；
2.一个自然数可以表示成三个平方数的和当且仅当它分解为(2^k)m,m为奇数后满足k为奇数,或m被8除的余数不等于7；
3.所有自然数都可以表示成四个平方数的和.
你的猜想基本上是1的特殊情况,只要再说明形如(4k+1)的素数的乘积不但可以表示成两个平方数的和,而且可以进一步表示成两个非零平方数的和.
1可以用环论证明,一般数学系大二的抽象代数/近世代数教材中会有；2可以用局部-整体原则证明,一般数学系大四或研一的数论教材中会有（例如Serre的A course in arithmetic第45页）；3最容易,只需要用到初等数论中的二次剩余,可以在网上找到（搜索"四平方和定理"）