题目
设函数F(x)=ex+sinx-ax.
(1)若x=0是F(x)的极值点,求a的值;
(2)若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒不在y=F(-x)的图象下方,求实数a的取值范围.
(1)若x=0是F(x)的极值点,求a的值;
(2)若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒不在y=F(-x)的图象下方,求实数a的取值范围.
提问时间:2021-03-25
答案
(1)函数F(x)=ex+sinx-ax的导函数F′(x)=ex+cosx-a
∵x=0是F(x)的极值点,∴F′(0)=1+1-a=0
解得a=2
又当a=2时,
x<0时,F′(x)=ex+cosx-2<0,x>0时F′(x)=ex+cosx-2>0
∴x=0是F(x)的极小值点
∴a=2
(2)令φ(x)=F(x)-F(-x)=ex-e-x+2sinx-2ax
则φ′(x)=ex+e-x+2cosx-2a
令S(x)=φ′′(x)=ex-e-x-2sinx
∵S′(x)=ex+e-x-2cosx≥0当x≥0时恒成立
∴函数S(x)在[0,+∞)上单调递增
∴S(x)≥S(0)=0当x≥0时恒成立
∴函数φ′(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴φ′(x)≥φ′(0)=4-2a当x≥0时恒成立
当a≤2时,φ′(x)≥0,函数φ(x)在[0,+∞)上单调递增,即φ(x)≥φ(0)=0
故a≤2时,F(x)≥F(-x)恒成立
当a>2时,φ′(0)<0,又∵φ′(x)在[0,+∞)上单调递增
∴总存在x0∈(0,+∞),使得在区间[0,x0)上φ′(x)<0,导致φ(x)在[0,x0)上递减,而φ(0)=0
∴当x∈(0,x0)时,φ(x)<0,这与题意不符,∴a>2不合题意
综上,a的取值范围是(-∞,2]
∵x=0是F(x)的极值点,∴F′(0)=1+1-a=0
解得a=2
又当a=2时,
x<0时,F′(x)=ex+cosx-2<0,x>0时F′(x)=ex+cosx-2>0
∴x=0是F(x)的极小值点
∴a=2
(2)令φ(x)=F(x)-F(-x)=ex-e-x+2sinx-2ax
则φ′(x)=ex+e-x+2cosx-2a
令S(x)=φ′′(x)=ex-e-x-2sinx
∵S′(x)=ex+e-x-2cosx≥0当x≥0时恒成立
∴函数S(x)在[0,+∞)上单调递增
∴S(x)≥S(0)=0当x≥0时恒成立
∴函数φ′(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴φ′(x)≥φ′(0)=4-2a当x≥0时恒成立
当a≤2时,φ′(x)≥0,函数φ(x)在[0,+∞)上单调递增,即φ(x)≥φ(0)=0
故a≤2时,F(x)≥F(-x)恒成立
当a>2时,φ′(0)<0,又∵φ′(x)在[0,+∞)上单调递增
∴总存在x0∈(0,+∞),使得在区间[0,x0)上φ′(x)<0,导致φ(x)在[0,x0)上递减,而φ(0)=0
∴当x∈(0,x0)时,φ(x)<0,这与题意不符,∴a>2不合题意
综上,a的取值范围是(-∞,2]
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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