题目

即证明复合函数的连续性
诺函数f(x)在点x0上连续,g(u)在点u0上连续,且uo=f(x0),证明函数
g[f(x)]在点xo上连续.

提问时间：2021-03-25

答案

课本上的定理!可以直接使用.如果要证明的话,就是用函数的定义.
对于任意给定的任意小的正数ε,因为g(u)在点u0上连续,所以存在η＞0,当|u－u0|＜η时,|g(u)－g(u0)|＜ε.
对于正数η,因为u＝f(x)在点x0上连续,所以存在δ＞0,当|x－x0|＜δ时,|f(x)－f(x0)|＜η,即|u－u0|＜η.
所以,当|x－x0|＜δ时,|g(u)－g(u0)|＜ε,即|g[f(x)]－g[f(x0)]|＜ε
所以,g[f(x)]在点xo上连续