题目

高等代数无限集合比较大小
偶数集和自然数集存在一一对应关系,势相同,可是明明自然数集比偶数集大啊,那么无线集合怎么比较哪个集合更多呢?老师说0到1内的无理数集比有理数集大,这又是怎么回事?

提问时间：2021-03-25

答案

"集合比其真子集的元素多", 这在有限集情形是容易证明的.
但对无限集并没有证明这一点, 这里不能凭感觉就认为也是对的.
实际上, 对任意无限集都存在其真子集与其可以建立一一对应,
所以上述论断对无限集是不成立的.
总之一切都要从定义出发: 两个集合的基数相等当且仅当二者间存在一一对应.
而如果存在集合A到B的单射, 但不存在B到A的单射, 则B的基数严格大于A的基数.
(如果A, B分别有到对方的单射, 可以证明A, B间存在一一对应).
说偶数与自然数一样多, 以及无理数比有理数多都是基于上述准则.
后者要证明不存在无理数集到有理数集的单射, 这个证明不是随便讲得清的.