题目

设F1,F2,为椭圆X^2/9+Y^2/4=1的两个焦点,P为椭圆上一点,已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求|PF1|/|PF2|的值.
已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线Y=X+1与椭圆交于P和Q,且OP垂直OQ,|PQ|=(√10)/2,求椭圆方程

提问时间：2021-03-25

答案

∵P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点
分2种情况
①P为直角顶点
∵|PF1│+│PF2|=6
|PF1|^2+|PF2|^2=20
解出 |PF1|×|PF2|=8
∵|PF1│+│PF2|=6
∴||PF1|=4 |PF2|=2
∴|PF1|/|PF2|=2
② F2为直角顶点
|PF1│+│PF2|=6
|PF1|^2-|PF2|^2=20
∴|PF1|=14/3 |PF2|=4/3
∴|PF1|/|PF2|=7/2
(2)设椭圆方程：ax^2+by^2=1 (a、b＞0)
两交点为P(x1,x1+1),Q(x2,x2+1)
∵ax^2+by^2=1
y=x+1
消去y得(a+b)x^2+2bx+b-1=0
∵│PQ|=√(1+k^2)×√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√10/2
∵x1+x2=-2b/(a+b),x1x2=(b-1)/(a+b)
∴(a+b-ab)/(a+b)^2=5/16
∵OP⊥OQ,∴(x1,x1+1)·(x2,x2+1)=0
∴x1x2+(x1+1)(x2+1)=0
∵x1+x2=-2b/(a+b),x1x2=(b-1)/(a+b)
∴a+b=2
∵(a+b-ab)/(a+b)^2=5/16
∴ab=3/4
∴a=3/2,b=1/2或a=1/2,b=3/2;
∴椭圆方程为：
3(x^2)/2+(y^2)/2=1
或(x^2)/2+3(y^2)/2=1