题目
已知抛物线y=ax²+bx+c经过点(1,2).(1)若a=1,抛物线顶点为A,它与x轴交于两点B,C,且△ABC为等边三角形,求b的值
提问时间:2021-03-25
答案
答:
a=1,y=ax²+bx+c=x²+bx+c经过点(1,2):
1+b+c=2
所以:b+c=1,c=1-b
y=x²+bx+1-b
y=(x+b/2)²+1-b-b²/4
抛物线顶点A(-b/2,1-b-b²/4),与x轴交点为B(x1,0)和C(x2,0)
根据韦达定理有:
x1+x2=-b
x1*x2=1-b
所以:
(x1-x2)^2
=(x1+x2)^2-4x1*x2
=b^2-4(1-b)
=b^2+4b-4
所以:BC^2=b^2+4b-4
因为:三角形ABC是等边三角形
所以:AB=AC=BC
因为:点A到BC的高即为点A的纵坐标的绝对值
所以:|1-b-b²/4| =(√3/2)*BC
所以:(b²+4b-4)/4=(√3/2)*√(b^2+4b-4)>0
所以:√(b^2+4b-4)=2√3
所以:b^2+4b-4=12
所以:b^2+4b+4=20
解得:b=-2-2√5或者b=-2+2√5
a=1,y=ax²+bx+c=x²+bx+c经过点(1,2):
1+b+c=2
所以:b+c=1,c=1-b
y=x²+bx+1-b
y=(x+b/2)²+1-b-b²/4
抛物线顶点A(-b/2,1-b-b²/4),与x轴交点为B(x1,0)和C(x2,0)
根据韦达定理有:
x1+x2=-b
x1*x2=1-b
所以:
(x1-x2)^2
=(x1+x2)^2-4x1*x2
=b^2-4(1-b)
=b^2+4b-4
所以:BC^2=b^2+4b-4
因为:三角形ABC是等边三角形
所以:AB=AC=BC
因为:点A到BC的高即为点A的纵坐标的绝对值
所以:|1-b-b²/4| =(√3/2)*BC
所以:(b²+4b-4)/4=(√3/2)*√(b^2+4b-4)>0
所以:√(b^2+4b-4)=2√3
所以:b^2+4b-4=12
所以:b^2+4b+4=20
解得:b=-2-2√5或者b=-2+2√5
举一反三
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