题目
证明x^e
提问时间:2021-03-25
答案
【1】
∵当x>1时,不等式:x^e<e^x
等价于不等式:elnx<x.(即前面的不等式两边取对数即可)
∴只要证明当x>1时,恒有:
elnx<x
即可.
【2】
构造函数f(x)=x-elnx.(x>1)
求导,可得f'(x)=1-(e/x)=(x-e)/x
显然,该函数在x=e时取得最小值,即
f(x)min=f(e)=0.
∴当x>1时,恒有f(x)≥f(e)
等号仅当x=e时取得.
即恒有x-elnx≥0
∴恒有elnx≤x.(x>1)
等号仅当x=e时取得.
综上可知,x^e≤e^x.(x>1)
∵当x>1时,不等式:x^e<e^x
等价于不等式:elnx<x.(即前面的不等式两边取对数即可)
∴只要证明当x>1时,恒有:
elnx<x
即可.
【2】
构造函数f(x)=x-elnx.(x>1)
求导,可得f'(x)=1-(e/x)=(x-e)/x
显然,该函数在x=e时取得最小值,即
f(x)min=f(e)=0.
∴当x>1时,恒有f(x)≥f(e)
等号仅当x=e时取得.
即恒有x-elnx≥0
∴恒有elnx≤x.(x>1)
等号仅当x=e时取得.
综上可知,x^e≤e^x.(x>1)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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