题目

一道数列题,
已知数列{an}中,a1=1,点P（An,An+1)在直线y=x+1上.数列{bn}是等比数列,tn=anb1+an-1b2+…+a2bn-1+a1bn,t1=1,t2=4,求tn.

提问时间：2021-03-25

答案

等差数列{an}:a1=1;an=n;
t1=b1=1;t2=2b1+b2=4;
b1=1;b2=2;
故等比数列{bn}:b1=1;bn=2^(n-1);
tn=nb1+an-1b2+.+a2bn-1+a1bn
=n+(n-1)*2+(n-2)*2^2+(n-3)*2^3+...+(n-(n-2))*2^(n-2)+(n-(n-1))*2^(n-1)
=n*(1+2+2^2+2^3+...+2^(n-2)+2^(n-1))-(1*2+2*2^2+3*2^3+...+(n-2)*2^(n-2)+(n-1)*2^(n-1))
=n*(2^n-1)-(n-2)*2^n-2
=2^(n+1)-n-2
减号后面的等差等比混合式子的计算如下：
令 x=1*2+2*2^2+3*2^3+...+(n-2)*2^(n-2)+(n-1)*2^(n-1) (1)
则2x= 1*2^2+2*2^3+...+(n-(n-3)*2^(n-2)+(n-(n-2))*2^(n-1)+(n-1)*2^n (2)
(2)-(1)得x=(n-1)*2^n-2^n+2=(n-2)*2^n+2