题目

已知f（x）=x²-2ax+1，x∈[-1，1]，记函数f（x）的最大值为g（a），a∈R．
（1）求g（a）的表达式；
（2）若对一切a∈R，不等式g（a）≥ma-a²恒成立，求实数m的取值范围．

提问时间：2021-03-24

答案

（1）∵f（x）=（x-a）²+1-a²，x∈[-1，1]，
∴当a≥0时，g（a）=f（-1）=2+2a；
当a＜0时，g（a）=f（1）=2-2a；
∴g(a)=

2+2a a≥0 2-2a a＜0

…（6分）（对一个式子得3分）
（2）∵对一切a∈R，不等式g（a）≥ma-a²恒成立，
∴当a=0时，g（a）≥ma-a²恒成立，m∈R…（8分）
当a＞0时，2+2a≥ma-a²恒成立，
解得m≤a+

2

a

+2恒成立
∵a+

2

a

+2的最小值为2

2

+2，（1分）
∴m≤2

2

+2…（10分）
当a＜0时，2-2a≥ma-a²恒成立，
解得m≥a+

2

a

-2恒成立，（12分）
∵a+

2

a

-2的最大值为-2

2

-2
∴m≥-2

2

-2
综上所述 m∈[-2

2

-2，2

2

+2]．（14分）

（1）由f（x）的解析式，找出对称轴为直线x=a，然后找出区间的中点为0，分a大于等于0和a小于0两种情况，分别求出g（a），由此得到g（a）关于a的分段函数关系式．
（2）由对一切a∈R，不等式g（a）≥ma-a²恒成立，根据a的符号进行分类讨论，能求出实数m的取值范围．

本题考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．