题目

设球的直径均匀分布在区间[a,b]内,则球的体积的数学期望是 .

提问时间：2021-03-24

答案

设直径x,是[a,b]上服从均匀分布的随机变量.求球的体积v=πx³/6的数学期望：E(v)=?
x的概率密度函数：f(x)=1/(b-a) x:[a,b]
f(x)=0 其它x
E(v)=∫(b,a) πx³/6/(b-a) dx
= π/[6(b-a)] ∫(b,a) x³ dx
= π/[24(b-a)] x^4 |(b,a)
= π/[24(b-a)] (b^4 - a^4)
= π(a+b)(a²+b²)/24 （1）
即球体体积的数学期望：E(v) = π(a+b)(a²+b²)/24
设想：当a=b时,(1)式变成：
E(v) = πa³/6
这恰是直径为a的球的体积!也证明了结果(1)的正确性.