题目

以△ABC的AB、AC为边向外作正方形ABDE及ACGF，作AN⊥BC于点N，延长NA交EF于M点，求证：EM=MF．

提问时间：2021-03-24

答案

过点E作EP垂直NM交NM的延长线于点P，过点F作FH垂直MN于点H，如下图所示，

∵∠EAP+∠BAN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，
∴∠EAP=∠ABN，
在RT△EAP和RT△ABN中，

EA＝AB ∠EAP＝∠ABN ∠EPA＝∠ANB

，
∴△EAP≌△ABN，
故可得：EP=AN，
同理可得：RT△FHA≌RT△ANC，
故可得：FH=AN=EP，
从而可证得：RT△EMP≌RT△FMH，
故EM=MF．

过点E作EP垂直NM交NM的延长线于点P，过点F作FH垂直MN于点H，依次证明△EAP≌△ABN、RT△FHA≌RT△ANC、RT△EPM≌RT△FHM即可得出结论．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质，解答本题的关键是作出辅助线，利用三角形全等的证明得出EP=FH，难度较大．