题目

如何证明函数f(x)=a^x 的导函数?
可以给出详细证明么？
(a^(x+h)-a^x)/h = a^x * (a^h-1)/h -> a^x * ln(a)

提问时间：2021-03-24

答案

这个有一点技巧.可以参看任何一本《数学分析》教材.方法都差不多.
我的教材是这样做的：
首先证出g(x)=x^a导数为ax^(a-1),事实上,设x≠0,则有
(g(x+h)-g(h))/h = x^(a-1)*((1+h/x)^a-1)/(h/x)
对固定的x≠0,由于当h->0时,h/x->0.从而推出
g'(x) = ax^(a-1)
其次对f(x)=a^x,由于h->0时
(a^(x+h)-a^x)/h = a^x * (a^h-1)/h -> a^x * ln(a)
故得结论.
注：前一步用到了极限
((1+x)^a-1)/x -> a
(当x->0时).
这个你可以试用重要极限(1+x)^(1/x) -> e来做.