题目

已知定义域为R的函数f（x）在（8,+∞）上为减函数,且f（x+8）为偶函数,求证f（x）的图像的对称轴为直线x=8

提问时间：2021-03-24

答案

本题是不是有点毛病?在（8,+∞）上为减函数,这个条件是多余的.
证：设y=f(x)的图像上任意一点为P（a,b),
且关于直线x=8的对称点为P′(c,b)
那么（a+c)/2=8 ,解得：c=16-a ,∴P′（16-a,b)
下面只须证明点P′在y=f(x)的图像上,即可
∵f(x+8)是偶函数
∴f(-x+8)=f(x+8) ……①
设-x+8=t ,则x=8-t
代入① ：f(t)=f(16-t)
取t=a 则f(a)=f(16-a) ,即b=f(16-a)
∴点P′也在y=f(x)的图像上
总之,y=f(x)的图像上任意一点关于直线x=8的对称点都在图像上
∴结论成立