题目
一道关于极限和导数的数学分析题
已知:f(x)满足对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在0点可导,f'(0)=a.
证明:对任意实数x,都有f(x)连续可导.
已知:f(x)满足对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在0点可导,f'(0)=a.
证明:对任意实数x,都有f(x)连续可导.
提问时间:2021-03-24
答案
由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(x+y)-f(x)=f(y),故
(f(x+y)-f(x))/y=f(y)/y,
由于f(x)在0点可导且f'(0)=a,故当趋于零时,f(y)/y=f(0+y)/y以f'(0)为极限,
于是当趋于零时,(f(x+y)-f(x))/y也以f'(0)为极限,即f(x)在任意x点上可导且对任意x有f'(x)=a.
(f(x+y)-f(x))/y=f(y)/y,
由于f(x)在0点可导且f'(0)=a,故当趋于零时,f(y)/y=f(0+y)/y以f'(0)为极限,
于是当趋于零时,(f(x+y)-f(x))/y也以f'(0)为极限,即f(x)在任意x点上可导且对任意x有f'(x)=a.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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