题目
已知函数f(x)=x2+
a |
x |
提问时间:2021-03-24
答案
(1)当a=0时,f(x)=x2
对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),
∴f(x)为偶函数.
当a≠0时,f(x)=x2+
(x≠0,常数a∈R),
取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0,
f(-1)-f(1)=-2a≠0,
∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)设2≤x1<x2,
f(x1)-f(x2)=x21+
−x22−
=
[x1x2(x1+x2)-a],
要使函数f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数,
必须f(x1)-f(x2)<0恒成立.
∵x1-x2<0,x1x2>4,
即a<x1x2(x1+x2)恒成立.
又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,
∴a的取值范围是(-∞,16].
对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),
∴f(x)为偶函数.
当a≠0时,f(x)=x2+
a |
x |
取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0,
f(-1)-f(1)=-2a≠0,
∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)设2≤x1<x2,
f(x1)-f(x2)=x21+
a |
x1 |
a |
x2 |
(x1−x2) |
x1x2 |
要使函数f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数,
必须f(x1)-f(x2)<0恒成立.
∵x1-x2<0,x1x2>4,
即a<x1x2(x1+x2)恒成立.
又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,
∴a的取值范围是(-∞,16].
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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