题目
一道大一数学题,急等!
设f(x)有二阶连续导数,且f(0)=0,试证函数g(x)可导,且g'(x)连续.gx当x≠0,gx=f(x)/x,当x=0,gx=f'(0).我现在会证可导,但不会证明在x等于0时导函数连续.我的思路是证明当x→0时,lim g'(x)=g'(0)=0;我用洛必达法则证明到当趋近于0时,lim g'x=lim 1/2f"(x),然后怎么也证不出来了,还有f"x是连续的这个条件也没用上,
设f(x)有二阶连续导数,且f(0)=0,试证函数g(x)可导,且g'(x)连续.gx当x≠0,gx=f(x)/x,当x=0,gx=f'(0).我现在会证可导,但不会证明在x等于0时导函数连续.我的思路是证明当x→0时,lim g'(x)=g'(0)=0;我用洛必达法则证明到当趋近于0时,lim g'x=lim 1/2f"(x),然后怎么也证不出来了,还有f"x是连续的这个条件也没用上,
提问时间:2021-03-24
答案
由于g(x)=f(x)/x,直接对g(x)求导后,g‘(x)=(f'(x)-f(x))/x²,显而易见x=0是g‘(x)的间断点,在第一问证明完可导的基础上,只需再证明g‘(x)在0点左侧和右侧的极限相等且等于g‘(0)即可.你用洛必达法则证明到当趋近于0时,lim g'(x)=lim 1/2f"(x),实际上,由于f‘’(x)连续,lim然后再求lim g'(x)=1/2 f"(0),此时由定义式求g'(0)=lim(x→0)(g(x)-g(0))/x=lim(x→0)(f(x)/x²),运用洛必达法则,继续=lim(x→0)(f ‘(x)/2x)=1/2 lim(x→0)f''(x)=1/2 f''(0).综上所述,g‘(x)在定义域上连续.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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