题目

如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD，

（1）求证：∠EDC=90°．
（2）若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F（图2），且∠F=55°，求∠ABC．

提问时间：2021-03-23

答案

（1）证明：在△BCD中，∠CBD+∠BDC+∠BCD=180°，
∵∠BDC=∠BCD，
∴∠CBD+2∠BDC=180°，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB，
∵DE平分∠ADB，
∴∠BDE=

1

2

∠ADB，
∴∠EDC=∠BDE+∠BDC=

1

2

（∠CBD+2∠BDC）=

1

2

×180°=90°，
故：∠EDC=90°；
（2）设BF、DE相交于点O，
∵∠EDC=90°，
∴∠FDO=90°，
∴∠DOF=90°-∠F=90°-55°=35°，
由三角形的外角性质，∠OBD+∠ODB=∠DOF=35°，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，
∴∠ABD+∠ADB=2（∠OBD+∠ODB）=2×35°=70°，
在△ABD中，∠A=180°-（∠ABD+∠ADB）=180°-70°=110°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠A=180°-110°=70°．