题目

设有n盏亮着的灯,每盏都用拉线开关,如果规定每次必须同时拉动n－1个拉线开关.试问：能否把所有的灯都关闭?

提问时间：2021-03-23

答案

当n是偶数时,
下面给出一钟可行的方案使所有的灯都关闭,
将所有灯排成一个圆圈,
从某个灯开始排号a1,a2,...,an,
每次拉动n-1个灯的开关,
第1次拉灯a1,a2,a3,...,a(n-1),
第2次拉灯a2,a3,a4,...,an,
第3次拉灯a3,a4,a5,...,an,a1,
.
第n-1次拉灯a(n-1),an,a1,...,a(n-4),a(n-3),
第n次拉灯an,a1,a2,...,a(n-3),a(n-2),
总共拉灯n次,每盏灯被拉n-1次,
∵n-1是奇数,∴所有灯都关闭了；
当n是奇数时,
下面用反证法证明不能把所有的灯都关闭,
设每盏灯被拉动次数分别为k1,k2,...,kn,
假设可以把所有的灯都关闭,
那么k1,k2,...,kn都是奇数,
∵n是奇数,∴k1+k2+...+kn是奇数,
设拉灯次数为m,
那么m(n-1)=k1+k2+...+kn,
∵n-1是偶数,∴m(n-1)是偶数,
等式左边是偶数而右边是奇数,
这显然矛盾,
那么假设不成立,
那么n是奇数时,不能把所有的灯都关闭.