题目

函数f（x）=x³-px²+2m²-m+1在区间（-2，0）内单调递减，且在区间（-∞，-2）及（0，+∞）内单调递增，则实数p的取值集合是______．

提问时间：2021-03-23

答案

由f（x）=x³-px²+2m²-m+1，则f^′（x）=3x²-2px．
因为f（x）=x³-px²+2m²-m+1在区间（-2，0）内单调递减，且在区间（-∞，-2）及（0，+∞）内单调递增，
所以x=-2与x=0是函数f（x）的两个极值点．
则

f′(0)＝0    ① f′(−2)＝0  ②

，①式显然成立，所以只需f^′（-2）=3×（-2）²-2p×（-2）=0．
即p=-3．
所以使函数f（x）=x³-px²+2m²-m+1在区间（-2，0）内单调递减，且在区间（-∞，-2）及（0，+∞）内单调递增的实数p的取值集合是{-3}．
故答案为{-3}．

求出原函数的导函数，根据函数f（x）=x³-px²+2m²-m+1在区间（-2，0）内单调递减，且在区间（-∞，-2）及
（0，+∞）内单调递增，说明x=-2与x=0是函数f（x）的两个极值点，利用极值点处的导数等于0即可求得实数p的取值集合．

本题考点：函数的单调性与导数的关系．

考点点评：本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把函数在不同区间内的单调性转化为极值点处的导数等于0，此题是基础题．