题目

如图：在正△ABC中，点D、E分别在边BC、CA上，使得CD=AE，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q．则

QP

QB

=______．

提问时间：2021-03-23

答案

∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AB，且∠C=∠CAB=60°，又CD=AE，
∴△ACD≌△BEA，
∴∠CAD=∠EBA，又∠CAD+∠DAB=60°，
∴∠QPB=∠DAB+∠ABE=60°，又BQ⊥AD，
∴

QP

QB

=cot60°=tan30°=

3

3

．
故答案为：

3

3

．

根据三角形为等边三角形，得到三条边和三个角相等，又根据CD=AE，利用SAS的方法得到三角形ACD与三角形ABE，根据全等三角形的对应角相等得到角CAD等于角EAB，又角CAD加角DAB等于60°，所以利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，得到角BPQ等于60°，又BQ与AD垂直，根据特殊角的三角函数即可求出所求的比值．

本题考点：相似三角形的判定与性质；垂线；等边三角形的性质．

考点点评：此题考查了等边三角形的性质及全等的证明方法，考查了三角形的外角定理及特殊角的三角函数值，是一道综合题．