题目
如图,在△ABC中,已知AB=BC=CA,AE=CD,AD与BE交于点P,BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.
提问时间:2021-03-23
答案
证明:∵AB=BC=CA,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,
在△ABE和△CAD中
∴△ABE≌△CAD(SAS),
∴∠ABE=∠CAD,
∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP,
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°,
∵BQ⊥AD
∴∠BQP=90°,
∴∠PBQ=30°,
∴BP=2PQ.
∴△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,
在△ABE和△CAD中
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∴△ABE≌△CAD(SAS),
∴∠ABE=∠CAD,
∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP,
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°,
∵BQ⊥AD
∴∠BQP=90°,
∴∠PBQ=30°,
∴BP=2PQ.
推出等边三角形ABC,推出∠BAC=∠C=60°,证△ABE≌△CAD,推出∠ABE=∠CAD,求出∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°,求出∠PBQ=30°,根据含30度角的直角三角形性质推出即可.
全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.
本题考查了等边三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质,全等三角形的性质和判定的应用,关键是求出∠BPQ=60°和∠PBQ=30°.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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