题目

求解答数学题,椭圆方程的 !
已知椭圆4x^2＋y^2＝1及直线y＝x＋m
（1）当直线与椭圆有交点时,求m的取值范围（2）求被椭圆所截的最长弦所在的直线方程.

提问时间：2021-03-23

答案

把直线方程代入椭圆得
4x^2＋(x+m)^2＝1
5x^2+2mx+m^2-1=0
x1+x2=-2m/5
x1x2=(m^2-1)/5
△≥0
(2m)^2-4*5*(m^2-1)≥0
-√5/2≤m≤√5/2
弦长=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2
=√(1+k^2)*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=2√[4m^2/25-4(m^2-1)/5]
=2√[(-16m^2+20)/25]
很明显m=0时有最大值4√5/5