题目

研究一下,是否存在一个三角形具有以下性质：（1）三边是连续的三个自然数；（2）最大角是最小角的2倍

提问时间：2021-03-23

答案

：从性质（1）出发：三边是连续的三个自然数.
(1)三边的长不可能是1,2,3.因为1+2=3,而三角形任何两边之和大于第三边.
(2)如果三边分别是a=2,b=3,c=4.因为
在此三角形中,A是最小角,C是最大角,但是,所以2AC.
边长为2,3,4的三角形不满足条件.
(3)如果三边分别是a=3,b=4,c=5,此三角形是直角三角形,最大角是900,最小角不等于450,此三角形不满足条件.
(4)如果三边是a=4,b=5,c=6.此时
因为.所以2A=C.
所以,边长为4,5,6的三角形满足条件.
(5)当,三角形的三边是a=n,b=n+1,c=n+2时,三角形的最小角是A,最大角是C.
因为cosA随n的增大而减小,A随之增大,cosC随n的增大而增大,C随之变小.由于n=4时有2A=C.所以,当n>4时, 2AC.
综合上述,只有边长是a=4,b=5,c=6的三角形满足条件.