题目
求证：当x>0 时,(1+1/x)^x < e
求证：当x>0 时,(1+1/x)^x < e
求证：当x>0 时,(1+1/x)^x < e
提问时间：2021-03-23
答案
两边取对数后,变成ln(1+1/x)＜1/x,所以问题转换为证明：当t＞0时,ln(1+t)＜t
令f(t)＝ln(1+t)－t,f(0)＝0,f'(t)＝1/(1+t)－1＜0,所以f(t)在[0,+∞)上单调减少,所以t＞0时,f(t)＜f(0),即ln(1+t)＜t
所以,x＞0时,ln(1+1/x)＜1/x,所以x＞0 时,(1+1/x)^x ＜ e
令f(t)＝ln(1+t)－t,f(0)＝0,f'(t)＝1/(1+t)－1＜0,所以f(t)在[0,+∞)上单调减少,所以t＞0时,f(t)＜f(0),即ln(1+t)＜t
所以,x＞0时,ln(1+1/x)＜1/x,所以x＞0 时,(1+1/x)^x ＜ e
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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