题目

已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)对任意的x,y属于R,都有f(xy)=f(x)+f(y);
已知定义在R上的函数f(x)满足:
(1)对任意的x,y属于R,都有f(xy)=f(x)+f(y);
(2)当x>1是,f(x)>0.
求证：
（1）f(1)=0;
(2)对任意的x属于R,都有f(1/x)=-f(x);
(3)判断f(x)在（-无穷,0）上的单调性.

提问时间：2021-03-23

答案

(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0
（2）令y=1/x,则f(1/x)+f(x)=f(1)=0,即f(xy)=f(x)+f(y)
(3) 令a>b,a,b（-无穷,0）则f(a)-f(b)=f(a/b),
a/b>1,则f(a/b)>0,所以f(x)在（-无穷,0）上单增