题目

[根号下（x^2-9）]/x的不定积分（换元法）

提问时间：2021-03-22

答案

令√（x^2－9）＝u,则：x^2＝u^2＋9,∴d（x^2）＝2udu.
∴∫［√（x^2－9）/x］dx
＝（1/2）∫［2x√（x^2－9）/x^2］dx
＝（1/2）∫［√（x^2－9）/x^2］d（x^2）
＝（1/2）∫［u/（u^2＋9）］·2udu
＝∫｛［（u^2＋9）－9］/（u^2＋9）｝du
＝∫du－9∫［1/（u^2＋9）］du
＝u－9∫｛1/［9（u/3）^2＋9］｝du
＝u－3∫｛1/［（u/3）^2＋1］｝d（u/3）
＝u－3arctan（u/3）＋C
＝√（x^2－9）－3arctan［（1/3）√（x^2－9）］＋C.