题目

若抛物线上各点与焦点距离最小值是2,则过焦点与抛物线的对称轴成π/4角的弦的长度是
角弄错了是π/3

提问时间：2021-03-22

答案

若焦点在x轴上,不妨设方程为：
C：y^2=2px,焦点F（p/2,0),p>0,
设M(x,y)为抛物线上任意一点,则
MF^2=(x-p/2)^2+y^2≥4,
x^2-px+p^2/4+2px≥4
(x+p/2)^2≥4
因为x=y^2/(2p),p>0,
所以x≥0
x+p/2≥p/2=2,
p=4
焦点F(2,0)
抛物线的对称轴成π/3角的直线的倾斜角为π/3,tanπ/3=√3
该直线为L：y=√3(x-2)
L与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)
y1-y2=√3(x1-2)-√3(x2-2)=√3(x1-x2)
|AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(x1-x2)^2+3(x1-x2)^2=4(x1-x2)^2
|AB|=2|x1-x2|
j将L的方程代入C的方程,得到
3(x-2)^2=8x
3x^2-20x+12=0,
x1+x2=20/3,x1x2=12/3
|x1-x2|^2=(x1+x2)^-4x1x2=400/9-48/3=256/9
|x1-x2|=16/3
|AB|=2|x1-x2|=32/3.
如果焦点在y轴上也可以得到同样的结果.
此时抛物线：C：x^2=8y,L：y=(√3/3)x+2
同样|AB|=32/3.