题目
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中点,求二面角A1-BD-E的大小
提问时间:2021-03-22
答案
利用赋值法,令AB=1.取BD的中点为F.
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴A1B=A1D=A1C1=BD=√2.
∵E是CC1的中点,∴CE=C1E=1/2,∴BE=DE=√(BC^2+CE^2)=√(1+1/4)=√5/2.
A1E=√(A1C1^2+C1E^2)=√(2+1/4)=3/2.
∵A1B=A1D,∴A1F⊥BD. ∵BE=DE,∴EF⊥BD.
∴∠A1FE是二面角A1-BD-E的平面角.
而A1F=√(A1B^2-BF^2)=√(2-1/2)=√6/2.
EF=√(BE^2-BF^2)=√(5/4-1/2)=√3/2.
∴cos∠A1FE=(A1F^2+EF^2-A1E^2)/(2A1F×EF)
=(6/4+3/4-6/4)/[2×(√6/2)×(√3/2)]=3/(6√2)=√2/4.
∴二面角A1-BD-E的大小是arccos(√2/4).
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴A1B=A1D=A1C1=BD=√2.
∵E是CC1的中点,∴CE=C1E=1/2,∴BE=DE=√(BC^2+CE^2)=√(1+1/4)=√5/2.
A1E=√(A1C1^2+C1E^2)=√(2+1/4)=3/2.
∵A1B=A1D,∴A1F⊥BD. ∵BE=DE,∴EF⊥BD.
∴∠A1FE是二面角A1-BD-E的平面角.
而A1F=√(A1B^2-BF^2)=√(2-1/2)=√6/2.
EF=√(BE^2-BF^2)=√(5/4-1/2)=√3/2.
∴cos∠A1FE=(A1F^2+EF^2-A1E^2)/(2A1F×EF)
=(6/4+3/4-6/4)/[2×(√6/2)×(√3/2)]=3/(6√2)=√2/4.
∴二面角A1-BD-E的大小是arccos(√2/4).
举一反三
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奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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