题目

请问是否存在这样的多项式A(x),B(x),C(x),都是整数系数,并且A(x)=B(x)*C(x),A(x)的所有项系数都是0,1或-1;B(x)有一个项的系数是2008.
这里是B(x)有一个项的系数是2008,不是A(x)!
注明一点，这里A(x),B(x),C(x)都是多项式，所以项的个数肯定要大于1个啦！并且所有的系数都要是整数啊！
A(x)=x^2+1*x++++(2009个）+1*x^0+++(2008个）？
没有这种表示方法的呵，要不然不是很简单了？

提问时间：2021-03-22

答案

已知：
多项式A(x),B(x),C(x)满足如下条件：
系数均为整数；A(x)的系数为1,0或-1；B(x)有一个系数等于2008；A(x)=B(x)*C(x)
求证：
是否有满足以上条件的多项是存在?如果有,是什么样的?

假设
A(x) = a(1)x^p + a(2)x^(p-1) + a(3)x^(p-2) + …… + a(p-1)x^2 + a(p)x + a(p+1),其中p(1),p(2),……,a(p+1) 表示多项式的系数
B(x) = b(1)x^m + b(2)x^(m-1) + b(3)x^(m-2) + …… + b(m-1)x^2 + b(m)x + b(m+1),其中
b(1),b(2), ……,b(m+1) 表示多项式的系数
C(x) = c(1)x^n + c(2)x^(n-1) + c(3)x^(n-2) + …… + c(n-1)x^2 + c(n)x + c(n+1),其中c(1),c(2),……,c(n+1) 表示多项式的系数
B(x)*C(x)
=
b(1)c(1)x^(m+n) + b(1)c(2)x^(m+n-1) + b(1)c(3)x^(m+n-2) + ……+ b(1)c(n-1)x^(m+2) + b(1)c(n)x^(m+1) + b(1)c(n+1)x^m
+
b(2)c(1)x^(m+n-1) + b(2)c(2)x^(m+n-2) + b(2)c(3)x^(m+n-3) + ……+ b(2)c(n-1)x^(m+1) + b(2)c(n)x^m + b(2)c(n+1)x^(m-1)
+
b(3)c(1)x^(m+n-2) + b(3)c(2)x^(m+n-3) + b(3)c(3)x^(m+n-4) + ……+ b(3)c(n-1)x^m + b(3)c(n)x^(m-1)+ b(3)c(n+1)x^(m-2)
+
……
+
b(m-1)c(1)x^(2+n) + b(m-1)c(2)x^(1+n) + b(m-1)c(3)x^n + ……+ b(m-1)c(n-1)x^4 + b(m-1)c(n)x^3+ b(m-1)c(n+1)x^2
+
b(m)c(1)x^(1+n) + b(m)c(2)x^n + b(m)c(3)x^(n-1)+ ……+ b(m)c(n-1)x^3 + b(m)c(n)x^2+ b(m)c(n+1)x
+
b(m+1)c(1)x^n + b(m+1)c(2)x^(n-1) + b(m+1)c(3)x^(n-2)+ ……+ b(m+1)c(n-1)x^2 + b(m+1)c(n)x+ b(m+1)c(n+1)
=
b(1)c(1)x^(m+n) --------------------- (m+n)
+
b(1)c(2)x^(m+n-1) + b(2)c(1)x^(m+n-1) --------------------- (m+n-1)
+
b(1)c(3)x^(m+n-2) + b(2)c(2)x^(m+n-2) + b(3)c(1)x^(m+n-2) --------------------- (m+n-2)
+
……
+
b(1)c(k-1)x^(m+n+2-k) + b(2)c(k-2)x^(m+n+2-k) + b(3)c(k-3)x^(m+n+2-k) + … + b(k-1)c(1)x^(m+n+2-k) --------------------- (m+n+2-k)
+
b(1)c(k)x^(m+n+1-k) + b(2)c(k-1)x^(m+n+1-k) + b(3)c(k-2)x^(m+n+1-k) + … + b(k)c(1)x^(m+n+1-k) --------------------- (m+n+1-k)
+
b(1)c(k+1)x^(m+n-k) + b(2)c(k)x^(m+n-k) + b(3)c(k-1)x^(m+n-k) + … + b(k)c(2)x^(m+n-k) + b(k+1)c(1)x^(m+n-k) --------------------- (m+n-k)
+
……
+
b(1)c(n) x^(m+1) + b(2)c(n-1) x^(m+1) + b(3)c(n-2) x^(m+1) + …+ b(k-1)c(n-k+2) x^(m+1) + b(k)c(n-k+1) x^(m+1) + b(k+1)c(n-k) x^(m+1) + … + b(m)c(n-m+1)x^(m+1) --------------------- (m+1)
+
b(1)c(n+1) x^m + b(2)c(n) x^ m + b(3)c(n-1) x^m+ …+ b(k-1)c(n-k+3) x^m + b(k)c(n-k+2) x^m + b(k+1)c(n-k+1) x^m + … + b(m)c(n-m+2)x^m --------------------- (m)
+
b(2)c(n+1) x^(m-1) + b(3)c(n) x^ (m-1) + b(4)c(n-1) x^(m-1) + …+ b(k-1)c(n-k+4) x^(m-1) + b(k)c(n-k+3) x^(m-1) + b(k+1)c(n-k+2) x^(m-1) + … + b(m)c(n-m+3)x^(m-1) --------------------- (m-1)
+
b(3)c(n+1) x^(m-2) + b(4)c(n) x^ (m-2) + b(5)c(n-1) x^(m-2) + …+ b(k-1)c(n-k+5) x^(m-2) + b(k)c(n-k+4) x^(m-2) + b(k+1)c(n-k+3) x^(m-2) + … + b(m)c(n-m+4)x^(m-2) --------------------- (m-2)
+
…
+
b(k-1)c(n+1) x^(m-k+2) + b(k)c(n) x^ (m-k+2) + b(k+1)c(n-1) x^(m-k+2) + … + b(m)c(n-m+k)x^(m-k+2) --------------------- (m-k+2)
+
b(k)c(n+1) x^(m-k+1) + b(k+1)c(n) x^ (m-k+1) + b(k+2)c(n-1) x^(m-k+1) + … + b(m)c(n-m+k+1)x^(m-k+1) --------------------- (m-k+1)
+
b(k+1)c(n+1) x^(m-k) + b(k+2)c(n) x^ (m-k) + b(k+3)c(n-1) x^(m-k) + … + b(m)c(n-m+k+2)x^(m-k) --------------------- (m-k)
+
……
+
b(m-1)c(n+1)x^2 + b(m)c(n)x^2 + b(m+1)c(n-1)x^2 --------------------- (2)
+
b(m)c(n+1)x + b(m+1)c(n)x --------------------- (1)
+
b(m+1)c(n+1) --------------------- (0)
由已知系数均为整数；A(x)的系数为1,0或-1；B(x)有一个系数等于2008；A(x)=B(x)*C(x), 有
式子 (0) 到 (m+n)的系数 都 等于 1,0或-1, 一共有 (m+n+1)个方程,(m+n+2)个未知数(b(1)到b(m+1)和 c(1)到c(n+1))
假设b(1) = 2008
因为式子(1)的系数=1,0,-1
b(1)c(1) = 1,0,-1
2008c(1) = 1,0,-1
c(1)为整数, 所以
c(1) = 0
带入式子(2),得
b(1)c(2) + b(2)c(1) = 1,0,-1
2008c(2) + b(2) * 0 = 1,0,-1
2008c(2) = 0
c(1)为整数, 所以
c(2) = 0
带入式子(2),得
c(3) = 0
….
c(n+1) = 0
从而 C(x) = 0
不符合题意,所以b(1) = 2008 不成立.
假设b(2) = 2008
b(1)c(1) = 1,0,-1
1, 1; 1, -1; -1,1; -1,-1; 1,0; 0,1; -1,0; 0,-1; 0,0 共 9 种解
取 b(1)=1, c(1) =1, b(1)c(1) = 1
b(1)c(2) + b(2)c(1) = 1,0,-1, b(1)c(2) + 2008c(1) = 1,0,-1
其中1,0,-1取0
b(2)= 2008, c(2) = -2008
b(1)c(3) + b(2)c(2) + b(3)c(1) = 1,0,-1, b(1)c(3) + 2008c(2) + b(3)c(1) = 1,0,-1
b(2)= 2008, c(2) = - 2008,
c(3) + 2008c(2) + b(3) = 0
b(3) = 0, c(3) = 2008^2
b(1)c(4) + b(2)c(3) + b(3)c(2) + b(4)c(1) = 0
c(4) + 2008c(3) + b(4) = 0
b(4) = 0, c(4) = 2008^3
b(1)c(5) + b(2)c(4) + b(3)c(3) + b(4)c(2) + b(5)c(1) = 1,0,-1,
c(5) + 2008c(4) + b(5) = 1,0,-1
b(5) = 0, c(5) = -2008c(4) = 2008^4
依此类推,假设 b(k-1) = 0, c(k-1) = (-1)^(k) * 2008^(k-2)
那么带入式子(m+n+1-k), 有
b(1)c(k)+ b(2)c(k-1) + b(3)c(k-2)+ … + b(k)c(1) = 1,0,-1
c(k) + 2008c(k-1) + 0 + …. + 0 + b(k) = = 1,0,-1
c(k) + 2008c(k-1) + b(k) = = 1,0,-1 (取0)
取b(k) = 0, c(k) = - 2008c(k-1) = -2008* (-1)^(k) * 2008^(k-2) = (-1)^(k+1) * 2008^(k-1)
所以有
B(x) = x^m + 2008x^(m-1)
C(x) = x^n - 2008x^(n-1) + 2008^2 * x^(n-2) + …. + (-1)^(k+1) * 2008^(k-1) x^(n-k+2)+ … + (-1)^(n+1) * 2008^(n-1) * x + (-1)^(n+2) * 2008^n
有
A(x) = x^(m+n)