题目

已知如图，CD是RT△ABC斜边上的高，∠A的平分线交CD于H，交∠BCD的平分线于G，
求证：HF∥BC．

提问时间：2021-03-22

答案

证明：连接FE，
∵CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴∠A=∠DCB，
又∵AE平分∠A，CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠DAE，
又∵∠AHD=∠CHE，∠ADH=90度，
∴∠CGE=90度，
在三角形ACF中，AE是高，中线，角平分线，
∴CF⊥HE，CG=FG，
∴CH=FH，CE=EF，
∴CF是△CHE的高，中线，角平分线，
∴CH=CE，
∴CH=HF=EF=CE，
∴四边形HCEF是菱形，
∴HF∥BC．

根据角平分线性质作辅助线连接FE，进而证得HCEF是菱形从而证得．

本题考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了角平分线性质以及其应用，问题有一定难度．