题目

王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计），请你计算这块等腰三角形菜地的面积．

提问时间：2021-03-22

答案

根据题意，有三种情况：
（1）当等腰三角形为锐角三角形时（如图1所示），
∵D为AB中点，
∴AD=DB，
∵AD=DB=20米，DE=15米，
∴AE=

202+152

=25（米），
过C点作CF⊥AB于F，
∴DE∥CF，
∴△ADE∽△AFC，
∴

DE

CF

＝

AE

AC

，
∴CF=

15×40

25

=24（米），
∴S_△ABC=

1

2

AB•CF=

1

2

×40×24=480（米²）；
（2）当等腰三角形为钝角三角形时（如图2所示），
过A点作AF⊥BC于F点，
∵AD=BD=20米，DE=15米，
∴BE=25米，
∵∠B=∠B，∠BDE=∠AFB，
∴△BDE∽△BFA，
∴

BD

BF

=

BE

AB

=

DE

AF

，
∴BF=

20×40

25

=32（米），
∴BC=2×32=64（米），AF=24米，
∴S_△ABC=

1

2

×64×24=768（米²）；
（3）当等腰三角形是等腰直角三角形时，不符合情况．如图：
∵∠BAC=90°，∠B=45°；∠BED=90°，∠EDB=45°，
∴∠B=∠EDB，BE=DE，
但∵BE=20米，DE=15米．
所以不符合情况．

本题要分等腰三角形的顶角是锐角或钝角三种情况讨论解答．当顶角为锐角时，利用勾股定理求出AE，添加辅助线可求出△ABC的面积．当顶角为钝角时，作等腰三角形边上的高，利用比例求出AF即可求解．当顶角为直角时，连接AD，求出BD=AD=DC，求出BD、BC，即可求解

本题考点：等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．

考点点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，关键是作出等腰三角形的高，并且要分三种情况讨论解答．难度中等，要学会实际问题数学化，通过数学知识解决实际问题，是一种很重要的方法，要熟练掌握．