题目

半径为Ra的导体球A外,同心地放置半径分别为Rb、Rc(Rc>Rb)的导体球壳.已知A的电势为Ua,B的净电荷为0,C的净电荷为Qc.问：（1）用导线将A、B连结后,A的电势增量ΔU1为多少?
（2）再用导线将B和C连结后,A的第二次电势增量ΔU2为多少?

提问时间：2021-03-22

答案

大学物理啊……都扔了好久了,我试着写了一下,您看看对不对.
我先要说一下我对这道题的理B、C同心,A与B、C相离.
如果是A、B、C同心的话我的答案就都不对了,但那样更简单,你拿三次电势做差就可以了.
首先要知道导体球电势与带电量的关系.
先声明一下,下面的ε指的是ε0（真空介电常量）,只为打字看着方便而已.
依高斯定理（这个你肯定学了吧）,将高斯面选作带点球外半径为r（r>R）的球面,则：
4π（r^2）E=q/ε 得E=q/4π(r^2)ε
用积分求的电势：
U=∫E·dr 其中积分下界为导体球的半径,上届为无穷远（正无穷）,得：
U=q/4πrε
好了,基础知识普及完毕,开始做题!
（1）由上面结论的Ua=q/4πε·Ra
那个q=4πε·Ua·Ra（这个等式这一问用不上,下一问会用）
用导线连接后,A、B成为等式体,及二者表面电势相等（这说明A上的电荷分布到了B上）.
设A上的电荷为Qa,B上的电荷为Qb.可知Qa+Qb=q（1式）
因为电势相等,有
Ua=Ub 即：Qa/4πε·Ra=Qb/4πε·Rb
得：Qb=Qa·Rb/Ra
带入1式,则：
Qa=Ra·q/(Ra+Rb)
则Ua'=Qa/4πε·Ra=q/4πε·（Ra+Rb）=Ua·Ra/(Ra+Rb)
那么ΔU1=Ua'-Ua=-Ua·Rb/(Ra+Rb)
第一问完毕.
（2）用导线连接B、C,Ua=Uc=Ub,那么B上的电荷为0
总电荷量为q+Qc=4πε·Ua·Ra+Qc
类似上问的做法,得平衡后A的电荷Qa'=(4πε·Ua·Ra+Qc)·Ra/(Ra+Rc)
（打这个实在是太恶心了,具体过程我偷个懒你不介意吧）
那么Ua''=Qa'/4πε·Ra=(4πε·Ua·Ra+Qc)/(Ra+Rc)
ΔU2=Ua''-Ua'=(4πε·Ua·Ra+Qc)/(Ra+Rc)-Ua·Ra/(Ra+Rb)
第二问完毕.
我再把假如是A、B、C同心的情况说一下吧.
等势导体内部无电荷,计算表面势能就可以了.
那么：
Ua=q/4πε·Ra
Ua'=q/4πε·Rb
Ua''=q+Qc/4πε·Rc
其中：q=4πε·Ua·Ra
那么ΔU1=Ua'-Ua
ΔU2=Ua''-Ua'
把数带进去就可以了.
就这么多,挺简单的,关键是等势的理解和导体静电平衡的关系：电荷分布在表面,内部无电荷.
我物理扔了好长一段时间了,如果有写错的还望见谅!