题目

已知a,b,c的倒数成等差数列,求证：a/b+c-a,b/c+a-b,c/a+b-c的倒数也成等差数列.

提问时间：2021-03-22

答案

a/(b+c-a),b/(c+a-b),c/(a+b-c)的倒数即：
(b+c-a)/a,(c+a-b)/b,(a+b-c)/c
其中：(b+c-a)/a＋(a+b-c)/c＝b/a+c/a+a/c+b/c-2 （1）
a、b、c的倒数成等差数列,所以：1/a+1/c=2/b
即：b/a+b/c=2 （2） 或者b＝2/（1/a+1/c）（3）
（2）代入（1）得：
(b+c-a)/a＋(a+b-c)/c＝b/a+c/a+a/c+b/c-2＝c/a+a/c
而b/(c+a-b)的倒数(c+a-b)/b＝（c+a）/b－1＝（c+a）/ 2/（1/a+1/c）－1
＝（c+a）×（1/a+1/c）/2－1＝（c/a+a/c）/2 ｛（3）代入的结果｝
显然有2×(c+a-b)/b＝(b+c-a)/a＋(a+b-c)/c
即a/(b+c-a),b/(c+a-b),c/(a+b-c)的倒数也成等差数列