题目

（理科）若锐角α，β满足tanα•tanβ＝

13

7

，且sin(α−β)＝

5

3

，求
（1）cos（α-β）； （2）cos（α+β）

提问时间：2021-03-22

答案

（1）∵α，β为锐角，则-

π

2

＜α-β＜

π

2

，
而sin（α-β）=

5

3

＞0，则0＜α-β＜

π

2

，
∴cos（α-β）=

1−sin2(α−β)

=

2

3

；（6分）
（2）∵tanαtanβ=

13

7

，
∴

cos(α+β)

cos(α−β)

=

cosαcosβ−sinαsinβ

cosαcosβ+sinαsinβ

=

1−tanαtanβ

1+tanαtanβ

=

1− 13 7

1+ 13 7

=-

3

10

，
又cos（α-β）=

2

3

，
∴cos（α+β）=-

1

5

．（12分）

（1）由α，β为锐角，得到α-β的范围，再根据sin（α-β）的值大于0，得到α-β为锐角，故利用同角三角函数间的基本关系即可求出cos（α-β）的值；
（2）分别利用两角和与差的余弦函数公式化简

cos(α+β)

cos(α−β)

后，分子分母同时除以cosαcosβ，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanαtanβ的值代入求出

cos(α+β)

cos(α−β)

的值，然后再由（1）得到的cos（α-β）的值，即可求出cos（α+β）的值．

本题考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．

考点点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，第二问先求出

cos(α+β)

cos(α−β)

的值，然后借助第一问求出的cos（α-β）的值，从而得到cos（α+β）的值，注意此方法的技巧性．