题目

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量

m

＝(1，sin(B−A))，平面向量

n

=（sinC-sin（2A），1）．
（I）如果c＝2，C＝

π

3

，且△ABC的面积S＝

3

，求a的值；
（II）若

m

⊥

n

，请判断△ABC的形状．

提问时间：2021-03-22

答案

（I）由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4，∵△ABC的面积等于3，∴12absinC＝3．∴ab=4．联立方程组得a2+b2−ab＝4ab＝4解得a＝2，b＝2．∴a=2．（II）∵m⊥n，∴sinC-sin2A+sin（B-A）=0．化简得cosA（sinB-sinA）=0...

（I）根据余弦定理以及c和C的值可求得a²+b²-ab=4，进而根据三角形面积公式求得ab的值，最后联立方程求得a．
（II）根据）

m

⊥

n

可推断出sinC-sin2Asin（B-A）=0．化简整理求得A为90°判断出三角形为直角三角形或A=B判断三角形为等腰三角形．

本题考点：三角形的形状判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系；余弦定理．

考点点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角形形状的判断，平面向量的性质等．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．