题目

高等代数,矩阵运算
A为nxn矩阵,A∧2=A,证明：rank(A)+rank(A-E)=n

提问时间：2021-03-22

答案

利用两个引理就可以了～
（1）对于m乘n阶矩阵A、n乘s阶矩阵B：若AB=0,则r（A）+r（B）<=n
（2）对于n阶矩阵A、B,有r（A+B）<=r（A）+r（B）
证明上面的两个引理：
（1）因为AB=0,所以B的列向量均为AX=0的解,则B的列向量组的秩不超过AX=0的解空间W的维数,即r（B）<=dimW=n-r（A）（齐次线性方程组解空间维数等于未知量个数减去系数矩阵的秩）,从而r（A）+r（B）<=n
（2）设a1,…,an为A的列向量,b1,…,bn为B的列向量,不妨设a1,…,ar为A的列向量的极大线性无关组,b1,…,bl为B的列向量的极大线性无关组,则a1,…,an均可由a1,…,ar线性表出,b1,…,bn均可由b1,…,bl线性表出,从而A+B的列向量a1+b1,…an+bn均可由a1,…,ar,b1,…,bl线性表出,从而r（A+B）<=r（a1,…,ar,b1,…,bl）<=r（a1,…,ar）+r（b1,…,bl）=r（A）+r（B）
现在来证明该题：
利用（1）,有r（A）+r（A-E）=r（A）+r（E-A）>=r（A+E-A）=r（E）=n
又A^2-A=A（A-E）=0
从而利用（2）可得r（A）+r（A-E）<=n
所以r（A）+r（A-E）=n