题目

如图,已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线,这条直线和x轴、y轴正半轴分别交于点A和点B,且OA=OB=1．这条曲线是函数y=12x的图象在第一象限的一个分支,点P是这条曲线上任意一点,它的坐标是（a、b）,由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN,垂足是M、N,直线AB分别交PM、PN于点E、F．
（1）分别求出点E、F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标,用b的代数式表示点F的坐标,只须写出结果,不要求写出计算过程）；
（2）求△OEF的面积（结果用含a、b的代数式表示）；
（3）分别计算AF与BE的值（结果用含a、b的代数式表示）；
（4）△AOF与△BOE是否一定相似,请予以证明；如果不一定相似或一定不相似,简要说明理由．解：（1）点E（a,1-a）,点F（1-b,b）；（2分）
（2）S△EOF=S矩形MONP-S△EMO-S△FNO-S△EPF,
=ab-12a(1-a)-12b(1-b)-12(a+b-1)2,
=12(a+b-1)；（4分）
（3）BE=a2+(1-1+a)2=2a,
AF=(1-1+b)2+b2=2b；（6分）
（4）△AOF∽△BEO,（7分）
证明：∵OA=OB=1,
∴∠FAO=∠EBO；
∵点P（a,b）是曲线y=12x上一点,
∴2ab=1,即AF•BE=1；
又∵OA•OB=1,
∴AFOB=OABE；
∴△AOF∽△BEO． 为什么2ab=1,即AF•BE=1；
为什么2ab=1?

提问时间：2021-03-21

答案

应该是y=1/2x
两边同时乘2x,得2xy=1
把（a,b）带入得2ab=1
用勾股定理算出AF=（根号2）b
同理BE=（根号2）a
AF· BE=（根号2）a·（根号2）b=2ab=1