题目

微积分,函数项级数
级数∑an'（x）一致收敛（导函数）,那么∑an一致收敛吗?

提问时间：2021-03-21

答案

只是已知∑a[n]'(x)一致收敛的话∑a[n](x)可以无处收敛.
因为由导数还不能完全确定原函数.
例如取常值函数a[n](x) = 1.
a[n]'(x) = 0,显然∑a[n]'(x)一致收敛,但∑a[n](x)无处收敛.
不过只要加上条件:存在一点x = c,使∑a[n](c)收敛,并假设a[n]'(x)连续,
就能证明∑a[n](x)在有界区间内一致收敛.
设∑a[n](c)收敛到b,∑a[n]'(x)一致收敛到g(x).
则由a[n](x) = a[n](c)+∫{c,x} a[n]'(t)dt,∑a[n](x)逐点收敛到f(x) = b+∫{c,x} g(t)dt (逐项积分).
且由∑a[n]'(x)一致收敛到g(x),sup{x ∈ D} |g(x)-∑{1 ≤ k ≤ n} a[k]'(x)|收敛到0.
对D中包含c的任意有界闭区间F,设F的长度为d,则由积分中值定理,
sup{x ∈ F} |f(x)-∑{1 ≤ k ≤ n} a[k](x)|
≤ |b-∑{1 ≤ k ≤ n} a[k](c)|+sup{x ∈ F} |∫{c,x} g(t)dt-∑{1 ≤ k ≤ n} ∫{c,x} a[k]'(t)dt|
≤ |b-∑{1 ≤ k ≤ n} a[k](c)|+d·sup{x ∈ F} |g(x)-∑{1 ≤ k ≤ n} a[k]'(x)| 收敛到0.
因此∑{1 ≤ k ≤ n} a[k](x)在有界区间内一致收敛到f(x).
对于无界区间,不一定一致收敛.
例如a[n](x) = x/n²,a[n]'(x) = 1/n².
∑a[n](x)收敛在x = 0收敛,∑a[n]'(x)一致收敛,但∑a[n](x)不是一致收敛的.