题目

高三数学综合题
已知△ABC的顶点A（0,3）,底边BC在x轴上且|BC|=2,当BC在x轴上滑动时.
(1)求△ABC外心P的轨迹方程；
(2)若直线l过点Q(0,2)且直线l被(1)所求得的轨迹截得的线段常为(5√5)/2,求直线l的方程.
PS：(5√5)/2为“二分之五根号五”

提问时间：2021-03-21

答案

(1)求△ABC外心P的轨迹方程
设P(x,y).由于P外心,P处于BC的中垂线上.设B(x-1,0),C(x+1,0).
由|PA|=|PB|即|PA|^2=|PB|^2
得x^2+(y-3)^2=1+y^2,整理得x^2=6y-8（这是一条抛物线）
所以△ABC外心P的轨迹方程为x^2=6y-8.
(2)求直线l的方程
根据P的轨迹知必要求l的斜率存在.设l的方程为y-2=kx.
联立l与P的轨迹方程,消去y得x^2-6kx-4=0
则x1+x2=6k,x1*x2=-4,故(x1-x2)^2=36k^2+16
则y1+y2=6k^2+4,y1*y2=8k^2+4,故(y1-y2)^2=36k^4+16k^2
所以(36k^2+16)+(36k^4+16k^2)=[(5√5)/2]^2
解得k=1/2 or -1/2
所以l的方程为y=(1/2)x+2 or y=(-1/2)x+2.