题目

y=1/2(ex+e-x)的反函数怎么求

提问时间：2021-03-21

答案

y=[e^x+e^(-x)]/2
2y = e^x + e^(-x)
2y e^x = (e^x)^2 + 1
(e^x)^2 - 2y e^x + 1 = 0
e^x = [2y ±√(4y^2 -4)]/2 = y ±√(y^2 -1)
其中
y -√(y^2 -1)
= 1/[y +√(y^2 -1)]
< 1/y
同时
y=[e^x+e^(-x)]/2
≥2 √[e^x * e^(-x)] /2
= 1
当 x = 0 时,y = 1
而 x > 0
因此
y > 1
1/y < 1
y -√(y^2 -1) < 1
而 x > 0 ,e^x > 1
因此 舍去 e^x = y -√(y^2 -1)
e^x = y +√(y^2 -1)
x = ln [y +√(y^2 -1)]
互换 x 和 y 符号
y = ln [x -√(x^2 -1)]
其中 x > 1