题目

设△ABC的重心和外心分别为D,E,已知A（0,-1）B（0,1）,且向量DE∥AB,求顶点C的轨迹方程.

提问时间：2021-03-21

答案

可设C点的坐标为(x,y).
由重心坐标的公式,D点坐标((x+0+0)/3,(y+1-1)/3)=(x/3,y/3);
待定外心的坐标比较困难,可以通过下面的办法解决：
外心在AB的垂直平分线上,显然AB所在直线为x=0,外心就落在x轴上,纵坐标为零；
设外心坐标E(x1,0),由DE平行于AB可知x/3=x1,
那么就确定了外心坐标(x/3,0)；
由外心定义,CE=AE=BE,AE已经等于BE了,只需要令CE=AE或者CE=BE即可；
不妨CE=AE,
等价于(y-0)^2+(x-x/3)^2=(x/3-0)^2+(0+1)^2(由距离定义)；
即y^2+(x^2)/3=1；
轨迹方程如上,是一个椭圆.