题目
若1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5具有性质:对于1≤i≤4,a1,a2…ai不构成1,2,…,i的某个排列,则这种排列的个数是______.
提问时间:2021-03-21
答案
1、总的排列数有A55种,用排除法
2、考虑对于1≤i≤4,a1,a2,…ai为1,2,…i的某个排列的情况:
①当 i=4 时
即 a1 a2 a3 a4 为1,2,3,4的某个排列,a5=5,共有A44种可能
②当 i=3 时
即 a1 a2 a3为1,2,3的某个排列,此处要考虑重复问题.即a5 必须不为5,否则会和 i=4 时重复.
故a4=5,a5=4,a1 a2 a3任意排列,有 A33种可能
③当 i=2 时,a5 不为5,a3不为3(否则和i=3重复),有
a3=5时,a1,a2 为1,2 的任意排列,a4,a5为3,4的任意排列,故有A22×A22=4种排列
a4=5,a5=3,a3=4,此时有A22=2种
故 i=2时共有6种情况
④当 i=1 时,a1=1,此时要满足以下条件:
1、a2 不为 2
2、a2=3 时,a3 不能为2(与i=3重复)
3、a5 必须不为5,否则将和i=4重复
这样排列出来情况如下:
a2=5,A33种
a3=5,a2 不为2,有4种情况
a4=5,a5必须为2或3之间的一个,共2A22种
因而i=1时共有 14种情况
到此,结果就出来了:A55-A44-A33-6-14=70
故答案为:70
2、考虑对于1≤i≤4,a1,a2,…ai为1,2,…i的某个排列的情况:
①当 i=4 时
即 a1 a2 a3 a4 为1,2,3,4的某个排列,a5=5,共有A44种可能
②当 i=3 时
即 a1 a2 a3为1,2,3的某个排列,此处要考虑重复问题.即a5 必须不为5,否则会和 i=4 时重复.
故a4=5,a5=4,a1 a2 a3任意排列,有 A33种可能
③当 i=2 时,a5 不为5,a3不为3(否则和i=3重复),有
a3=5时,a1,a2 为1,2 的任意排列,a4,a5为3,4的任意排列,故有A22×A22=4种排列
a4=5,a5=3,a3=4,此时有A22=2种
故 i=2时共有6种情况
④当 i=1 时,a1=1,此时要满足以下条件:
1、a2 不为 2
2、a2=3 时,a3 不能为2(与i=3重复)
3、a5 必须不为5,否则将和i=4重复
这样排列出来情况如下:
a2=5,A33种
a3=5,a2 不为2,有4种情况
a4=5,a5必须为2或3之间的一个,共2A22种
因而i=1时共有 14种情况
到此,结果就出来了:A55-A44-A33-6-14=70
故答案为:70
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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英语翻译
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