题目

A，B，C为⊙O上的三点，D，E分别是

AB

、

AC

的中点，连接DE，分别交AB，AC于F，G，求证：AF=AG．

提问时间：2021-03-21

答案

证明：如图，连结OD、OE，
∵D，E分别是

AB

、

AC

的中点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠D+∠DFB=90°，∠E+∠EGC=90°，
∵OD=OE，
∴∠D=∠E，
而∠AFG=∠DFB，∠AGF=∠EGC，
∴∠AFG=∠AGF，
∴AF=AG．

先根据垂径定理得到OD⊥AB，OE⊥AC，则∠D+∠DFB=90°，∠E+∠EGC=90°，加上∠D=∠E，∠AFG=∠DFB，∠AGF=∠EGC，易得∠AFG=∠AGF，于是根据等腰三角形的判定即可得到AF=AG．

本题考点：圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．

考点点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．