题目
已知:如图,AB=AC,PB=PC,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E.
(1)求证:PD=PE;
(2)若AB=BP,∠DBP=45°,AP=2,求四边形ADPE的面积.
(1)求证:PD=PE;
(2)若AB=BP,∠DBP=45°,AP=2,求四边形ADPE的面积.
提问时间:2021-03-21
答案
(1)证明:连接AP.
在△ABP和△ACP中,
∵AB=AC,PB=PC,AP=AP,
∴△ABP≌△ACP(SSS).
∴∠BAP=∠CAP,
又∵PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,
∴PD=PE(角平分线上点到角的两边距离相等).
(2) ∵PD⊥AB,∠DBP=45°,
∴△BDP是等腰直角三角形
设DP=x,则BP=
x.
在直角△ADP中,
由勾股定理,得
x2+[(1+
)x]2=4,
整理得(4+2
)x2=4,
x2=
.
∴四边形ADPE的面积=2×△APD的面积=x(1+
)x=(1+
)•
=
.
在△ABP和△ACP中,
∵AB=AC,PB=PC,AP=AP,
∴△ABP≌△ACP(SSS).
∴∠BAP=∠CAP,
又∵PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,
∴PD=PE(角平分线上点到角的两边距离相等).
(2) ∵PD⊥AB,∠DBP=45°,
∴△BDP是等腰直角三角形
设DP=x,则BP=
2 |
在直角△ADP中,
由勾股定理,得
x2+[(1+
2 |
整理得(4+2
2 |
x2=
2 | ||
2+
|
∴四边形ADPE的面积=2×△APD的面积=x(1+
2 |
2 |
2 | ||
2+
|
2 |
(1)连接AP,构造全等三角形,再根据角平分线的性质即可证明;
(2)设DP=x,根据等腰直角三角形的性质表示出BP,则可表示出AB,根据勾股定理即可求解.
(2)设DP=x,根据等腰直角三角形的性质表示出BP,则可表示出AB,根据勾股定理即可求解.
勾股定理;全等三角形的判定;角平分线的性质.
综合运用全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及勾股定理.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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