题目

从数字0,1,2.n中任意取2个不同的数求这2个数字之差的绝对值的数学期望
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提问时间：2021-03-21

答案

设这两个数字之差的绝对值为ξ,则
ξ=1的有2n种可能
ξ=2的有2(n-1)种可能
ξ=3的有2(n-2)种可能
……
ξ=k的有2(n-k+1)种可能
……
ξ=n的有2种可能
共有2[1+2+…+n]=n(n+1)种可能
P(1)=2n/[n(n+1)]
P(2)=2(n-1)/[n(n+1)]
……
P(k)=2(n-k+1)/[n(n+1)]
……
P(n)=2/[n(n+1)]
则ξ的数学期望为
[2n+4(n-1)+6(n-2)+…+2k(n-k+1)+…+2n]/[n(n+1)]
分子和式通项为2k(n-k+1)=2(n+1)k-2k^2 k=1,2,3,…,n
分子=∑(k=1,n)[2(n+1)k-2k^2]= n(n+1)(n+2)/3
故所求数学期望为Eξ=[ n(n+1)(n+2)/3]/[ n(n+1)]=(n+2)/3