题目

cos级数的二阶导数
已知f(x)是cos的级数n=0 -到--无限 [(-1)^n*x^2n]/(2n)!
请用级数的方式证明f''(x)+f(x)=0
不要直接求二阶导数cosx的方式

提问时间：2021-03-21

答案

f(x)=cosx
而cosx=n从0 到无穷大求和 [(-1)^n*x^2n]/(2n)!,x属于R.
故f'(x)={n从0 到无穷大求和 [(-1)^n*x^2n]/(2n)!}'
={n从0 到无穷大求和 [(-1)^n*x^2n]/(2n)!]'}
={n从0 到无穷大求和 [(-1)^n*2n*x^(2n-1)]/(2n)!]'}
={n从1 到无穷大求和 [(-1)^n*x^(2n-1)]/(2n-1)!]}
因此
f''(x)=[f'(x)]'
={n从1 到无穷大求和 [(-1)^n*x^(2n-1)]/(2n-1)!]}'
={n从1 到无穷大求和 [(-1)^n*x^(2n-1)]/(2n-1)!]'}
={n从1 到无穷大求和 [(-1)^n*(2n-1)*x^(2n-2)]/(2n-1)!]}
={n从1 到无穷大求和 [(-1)^n*x^(2n-2)]/(2n-2)!]}
={n从0 到无穷大求和 [(-1)^(n+1)*x^2n]/(2n)!}
=-{n从0 到无穷大求和 [(-1)^n*x^2n]/(2n)!}
=-f(x)
所以f''(x)+f(x)=0